المثلثات

                                        

المثلثات

تعريف المثلث وخصائصه يُمكن تعريف المثلث (بالإنجليزية: Triangle) على أنه شكل مغلق ثنائي الأبعاد،[١] وثلاثي الأضلاع،[٢] ويتكوّن من ثلاث قطع مستقيمة تُشكّل الأضلاع تتقاطع في نهايتها لتكوين الرؤوس أو الزوايا، وتتم تسمية 

المثلث غالباً بالاعتماد على رؤوسه، وله ثلاث زوايا يكون مجموع قياسها 180 درجة

،[٣] ودائماً ما يقابل أقصر ضلع من المثلث أصغر زاوية داخلية، ويقابل أطول ضلع من المثلث أكبر زاوية 

داخلية، ومن أهمّ المصطلحات المتعلّقة بالمثلث

 ما يأتي:[٤] الرأس (بالإنجليزية: Vertex): هو زاوية المثلث، ويمتلك كلّ مثلث ثلاثة رؤوس. القاعدة 

(بالإنجليزية: Base): يمكن أن يشكّل أي ضلع من أضلاع المثلث قاعدة له

، لكنها عادةً ما تكون الضلع المرسوم في الأسفل، وفي المثلث متساوي الساقين تكون القاعدة عادة هي الضلع غير المتساوي مع الضلعين الآخرين، وتُستخدم القاعدة عادة في حساب مساحة المثلث. متوسط المثلث (بالإنجليزية: Median): هو خط ممتد من رأس المثلث إلى منتصف الضلع المقابل له، وللمثلث ثلاثة منها وتتقاطع في نقطة واحدة تسمى النقطة المركزية للمثلث (بالإنجليزية: Centroid). الارتفاع (بالإنجليزية: Altitude): هو العمود الممتد من القاعدة إلى رأس المثلث المقابل لها، وبما أنه هناك ثلاث قواعد محتملة للمثلث فإن هناك ثلاث ارتفاعات محتملة له أيضاً، وهي تتقاطع في نقطة تُسمّى مُلتقى الارتفاعات أو المركز القائم (بالإنجليزية: Orthocenter). لمزيد من المعلومات والأمثلة حول ارتفاع المثلث يمكنك قراءة المقال الآتي: 

كيف أحسب ارتفاع المثلث.

خصائص المثلث 

من أهم خصائص المثلث إضافة لما سبق ما ما يأتي:[٢] إذا وازى مستقيم أحد أضلاع المثلث وقطع الضلعيين الآخرين فإنّه يقسم المثلث إلى مثلثات متشابهة ومتناسبة في الطول. مجموع أطوال أي ضلعين من المثلث أكبر من طول الضلع الثالث دائماً، وبالمثل الفرق بين أطوال أي ضلعين أقل من طول الضلع الثالث دائماً.[٥] الزاوية الخارجيّة للمثلث تساوي مجموع الزوايا الداخليّة المقابلة لها أو البعيدة عنها،[٥] ويكون مجموع الزوايا الخارجيّة للمثلث هو 360 درجة.[٦] يقسم الارتفاع المثلث متساوي الساقين والمثلث متساوي الأضلاع القاعدة إلى نصفين متساويين، كما يقسم المثلث إلى مثلثين متساويين.[٧]

أنواع المثلثات أنواع المثلثات حسب طول الأضلاع يُمكن تقسيم المثلثات حسب طول الأضلاع كما يأتي:[٨] المثلث متساوي الأضلاع: (بالإنجليزية: Equilateral Triangle) هو مثلث له ثلاثة أضلاع متساوية في الطول، وثلاثة زوايا متساوية قياس كلّ منها 60 درجة. المثلث متساوي الساقين: (بالإنجليزية: Isosceles Triangle) هو مثلث له ضلعان متساويان في الطول، وزاويتان متساويتان في القياس هما زاويتا القاعدة. المثلث مختلف الأضلاع: (بالإنجليزية: Scalene Triangle) هو مثلث ليس لديه أي أضلاع متساوية في الطول، أو زوايا متساوية في القياس. ملاحظة: يُمكن تمييز الأضلاع المتساوية في الطول بوضع علامة خط مائل عليها.[٣] لمزيد من المعلومات والأمثلة حول المثلث متساوي الأضلاع يمكنك قراءة المقال الآتي: قانون مساحة المثلث متساوي الأضلاع. لمزيد من المعلومات والأمثلة حول المثلث متساوي الساقين يمكنك قراءة المقالات الآتية: خصائص المثلث متساوي الساقين، قانون مساحة المثلث متساوي الساقين، ارتفاع مثلث متساوي الساقين. أنواع المثلثات حسب الزوايا يُمكن تقسيم المثلثات حسب الزوايا التي تحتويها كما يأتي:[٨] المثلث حادّ الزاويا: (بالإنجليزية: Acute Triangle) هو مثلث يكون قياس كلّ زاوية من زواياه أقل من 90 درجة. المثلث قائم الزاوية: (بالإنجليزية: Right Triangle) هو مثلث يمتلك زاوية قائمة قياسها 90 درجة،[٨] ومن أنواع المثلثات قائمة الزاوية الخاصة:[٥] مثلث (90-45-45): وهو مثلث قائم الزاوية، ويكون قياس كل زاوية من زواياه الأخرى 45 درجة، كما أنه متساوي الساقين، وتكون الأضلاع في هذا المثلث متناسبة بين بعضها بنسبة 1: 1: 2√. مثلث (90-60-30): وهو مثلث قائم الزاوية، ويكون قياس إحدى زواياه 60 درجة والأخرى 30 درجة، كما أنه غير متساوي الساقين، ومختلف الأضلاع، وتكون الأضلاع في هذا المثلث متناسبة بين بعضها بنسبة 1: 3√: 2. المثلث مُنفرج الزاوية: (بالإنجليزية: Obtuse Triangle) هو مثلث يمتلك زاوية مُنفرجة قياسها أكبر من 90 درجة.[٨] ملاحظات مهمّة: أحياناً قد يمتلك المثلث اسمين؛ فمثلاً يُمكن أن يكون المثلث قائم الزاوية ومتساوي الساقين في نفس الوقت، لامتلاكه لزاوية قائمة وضلعين متساويين في القياس.[٨] يُطلق على أضلاع المثلث قائم الزاوية أسماءً خاصّة، فالضلع المقابل للزاوية القائمة يُسمّى الوتر، أمّا الضلعان الآخران فيُسمّيان بالساقين. يُمكن استخدام نظريّة فيثاغورس لإيجاد أطوال أضلاع المثلث قائم الزاوية، حيث يساوي مربع الوتر مجموع مربعي الضلعين الآخرين، ويُعبر عن هذه النظرية بالقانون الآتي: (الوتر)²=(الضلع الأول)²+(الضلع الثاني)².[٤] يكون الارتفاع في المثلث قائم الزاوية هو أحد الضلعين المتعامدين على الضلع الآخر، وفي حال اعتبار أحدهما هو الارتفاع فإن الضلع الآخر العمودي عليه هو قاعدة ذلك المثلث.[٧] لمزيد من المعلومات والأمثلة حول زوايا المثلث يمكنك قراءة المقال الآتي: حساب زوايا المثلث. لمزيد من المعلومات والأمثلة حول المثلث قائم الزاوية يمكنك قراءة المقالات الآتية: قانون المثلث قائم الزاوية، كيفية حساب أضلاع المثلث القائم، كيفية حساب محيط المثلث القائم، ارتفاع المثلث القائم. أمثلة متنوعة حول أنواع المثلثات المثال الأول: مثلث قياس إحدى زواياه هو °115، ما نوع هذا المثلث حسب زاويته؟[٩] الحل: بما أنه يحتوي زاوية مُنفرجة قياسها °115 فهو مثلث منفرج الزاوية. المثال الثاني: مثلث قياس إحدى زواياه هو °112، ما نوع هذا المثلث حسب زاويته؟[١٠] الحل: بما أنه يحتوي زاوية مُنفرجة قياسها °112 فهو مثلث منفرج الزاوية. المثال الثالث: المثلث أب ج، إذا كان أب=5سم، ب ج=12سم، أج=13، وكان أب يُعامد ب ج، ما نوع هذا المثلث حسب أضلاعه؟[١٠] الحل: بما أن أطوال أضلاعه مختلفة فهو مثلث مختلف الأضلاع. المثال الرابع: مثلث قياس زواياه هي: °46، °63، °71، ما نوع هذا المثلث؟[١١] الحل: بما أن قياس كلّ زاوية من زواياه أقل من 90 درجة، فهو مثلث حادّ الزوايا. لمزيد من المعلومات والأمثلة حول أنواع المثلثات يمكنك قراءة المقال الآتي: انواع المثلثات. تشابه وتطابق المثلثات يمكن تعريف كل من تطابق المثلثات وتشابهها كما يلي: تطابق المثلثات: يكون المثلثان متطابقان حين يكون لهما نفس الشكل ونفس الحجم، وبالتالي نفس الزوايا، ويُرمز له بالرمز (≅)،[٣] وشروط تطابق المثلثات هي كما يأتي:[٥] تساوي أطوال الأضلاع (SSS): يتطابق مثلثان عندما تتساوى أطوال أضلاع المثلث الثلاثة مع أطوال أضلاع المثلث المقابل (ضلع، ضلع، ضلع). تساوي طولي ضلعين وقياس الزاوية بينهما (SAS): يتطابق مثلثان عندما يتساوى طول ضلعين من المثلث الأول مع طول الضلعين المقابلين لهما من المثلث الآخر، وتكون الزاوية المحصورة بين الضلعين في كلا المثلثين متساوية (ضلع، زاوية، ضلع). تساوي قياس زاويتين وطول الضلع المشترك بينهما (ASA): يتطابق مثلثان عندما تتساوى زاويتان والضلع المشترك بينهما من المثلث الأول مع الزاويتين والضلع من المثلث الآخر (زاوية، ضلع، زاوية). تساوي طول وتر المثلث وأحد الأضلاع: عندما يتساوى طول وتر مثلث قائم الزاوية وأحد أضلاعه مع طول وتر مثلث آخر قائم الزواية وأحد أضلاعه يكون المثلثان متطابقان. تشابه المثلثات: يكون المثلثان متشابهان حين يكون لهما نفس قياس الزوايا، ولكنهما مختلفان في الحجم وأضلاعهما متناسبة، ويُرمز له بالرمز (∽)،[٣] وشروط تشابه المثلثات ه

روز عجيب